Feladatok:

  1. Mutassa meg, hogy a tapasztalati szórásnégyzet nem torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek!
    1. Határozza meg a geometriai eloszlás paraméterének maximum likelihood és momentum módszer szerinti becslését!
    2. Generáljon R-ben 0.01 paraméterű 200 elemű geometriai eloszlású mintákat. Mit tud mondani a fenti becslések viselkedéséről?
  3. A https://amiklos.web.elte.hu/Oktatas/Matstat2022osz/felkar.RData fileban a Dezinformatikai Biztosító 83 db felelősségbiztosítási kárát láthatják millió forintban melyet informatikusok okoztak. A biztosító az ilyen típusú károkat Pareto eloszlással modellezi. A Pareto eloszlás sűrűségfüggvénye \(\frac{\alpha\beta^\alpha}{(\beta+x)^{\alpha+1}}, x>0\)
    1. Próbáljon maximum likelihood becslést adni az \(\alpha\) paraméterre, ha \(\beta=2.5\)!
    2. Adja meg \(\alpha\) momentum módszeres becslését is! Mennyire tér el ez az előző becsléstől?
    3. Határozza meg az előző becsléseket, ha egyik paraméter sem ismert!
    1. A http://reliawiki.com/index.php/Lognormal_Example_5_Data#Lognormal_Distribution_Examples címen meghibásodási időket talál. Ezeket gyakran lognormális eloszlással közelítik. Adjon a paraméterekre maximum likelihood becslést!
    2. Becsülje a paramétereket momentum módszerrel is!
    3. Hogyan becsülné annak valószínűségét, hogy az első 700 órában nem történik meghibásodás?
  5. Legyenek \((X_1, . . . , X_n, Y_1, . . . , Y_m)\) fuggetlen, nem egyforma paraméterű normális eloszlású minták. A mintákat nem tudjuk megfigyelni, csak az \(\epsilon_{ij} = I(X_i < Y_j ),i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m\) indikátor változókat. Hogyan lehetne az eredeti \(X, Y\) változók paramétereit becsülni?